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头图3³+4³+5³=6³,只是个巧合吗?

2023-11-28 17:32

3³+4³+5³=6³,只是个巧合吗?作者 / 陈漱文没想到什么头绪,查了一下谷歌,看到 Quora 以下贴子:Number Theory: What idea is hidden in the problem 3³+4³+5³=6³ ?该贴子的两个回答,大致相同:【Quora 回 ...

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头图

3³+4³+5³=6³,只是个巧合吗?

作者 / 陈漱文

没想到什么头绪,查了一下谷歌,看到 Quora 以下贴子:

Number Theory: What idea is hidden in the problem 3³+4³+5³=6³ ?

该贴子的两个回答,大致相同:

【Quora 回答 1】

因此

【Quora 回答 2】

时,即

Quota 的这两个回答,可以理解为:是否存在两个三角数,其平方差为立方数?

本问题问的是式子的几何意义或别的解释,勉强凑合一下,看看有无类似结果。搜了一下,等式左边的各数在 1000 以内时,有 15 组解:

其中,有两组都是等于

,即:

此外,搜了一下,等式左边的各数在 1000 以内时,4 次、5 次、6 次方之和没有类似结果。

拼凑一个有点类似的 4 次方例子:

2021/12/15 补充:

上述回答发出后,我进一步得到更深入的结论:由以下恒等式

时,得到

3³+4³+5³=6³ 绝非巧合!

详细推导过程,请看下文 :

陈漱文:等幂和问题(5)—— 3³+4³+5³=6³ 绝非巧合!

2021/12/26 再补充:

根据 @笑横野 的回答,留意到一个更普遍的恒等式:

另外,二次方也有类似恒等式

详细参看:

陈漱文:等幂和问题(6)—— 3³+4³+5³=6³ 再探索

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